SPFA
简介
SPFA算法是一种求单源最短路的算法，其BFS写法是基于Ford的队列优化。但是尤其其经常被卡，所以一般不用于正权图，而是用于负权图来求最短路或者判断负环。
算法思想
主要思路是动态逼近法，也就是不断优化，直到无法优化路径。
-
我们设置一个队列，用于存储待优化的节点。
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每次将队首节点出队，然后用其松弛邻接的结点，如果能松弛，则将可松弛的节点的距离更新，然后将可松弛节点加入队列。
-
循环往复，直到队列为空。
如果在此过程中有某个点入队次数超过N次，则说明有负环。最短路不存在。
复杂度O(ke)，k是个较小的常数，理论上不会超过2。
实现
对于SPFA来说，显然邻接表或链式前向星更适合实现图的存储。
最短路
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100000+100
#define INF 0x3f3f3f3f
struct NODE {
int w;
int e;
int next; //next[i]表示与第i条边同起点的上一条边的储存位置
} edge[MAXN];
int cnt;
int head[MAXN];
void CFSInit() { // 链式前向星初始化
cnt = 1; // 其实这里是0也无所谓
memset(head, 0, sizeof(head));
}
void add(int u, int v, int w) { // 有向边,无向图需要正反各加一次
edge[cnt].w = w;
edge[cnt].e = v; //edge[i]表示第i条边的终点
edge[cnt].next = head[u]; //head[i]表示以i为起点的最后一条边的储存位置
head[u] = cnt++;
}
int src[1100];
int fal[1100];
int dis[1100];
int quecnt[1100];
bool vis[1100];
bool SPFA(int s, int n) {
memset(dis, INF, sizeof(dis));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(quecnt, 0, sizeof(quecnt));
queue<int> q;
q.push(s);
dis[s] = 0;
++quecnt[s];
vis[s] = true;
while (!q.empty()) {
int cur = q.front();
q.pop();
vis[cur] = false;
for (int i = head[cur]; i; i = edge[i].next) {
int v = edge[i].e;
if (dis[v] > dis[cur] + edge[i].w) {
dis[v] = dis[cur] + edge[i].w;
if (!vis[v]) {
++quecnt[v];
vis[v] = true;
q.push(v);
if (quecnt[v] > n) {
return false;
}
}
}
}
}
return true;
}
int main() {
int T, S, D;
while (~scanf("%d%d%d", &T, &S, &D)) {
CFSInit();
for (int i = 0; i < T; ++i) {
int a, b, t;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &t);
add(a, b, t);
add(b, a, t);
}
for (int j = 0; j < S; ++j) {
scanf("%d", &src[j]);
}
for (int k = 0; k < D; ++k) {
scanf("%d", &fal[k]);
}
int minnn = INF;
for (int j = 0; j < S; ++j) {
SPFA(src[j], T);
for (int i = 0; i < D; ++i) {
minnn = min(minnn, dis[fal[i]]);
}
}
printf("%d\n", minnn);
}
return 0;
}
在AC此题之后，我又尝试了一下洛谷的 单源最短路模板【标准】 果然T飞了，六个点只能过两个，这已经不是优化的问题了，面对精心设计的数据：
- 正权图 直接dijkstra
- 负权图 直接普通spfa，不要乱优化。
最长路
最长路问题可以用SPFA解决，也可以用拓扑排序+bfs解决，用SPFA写法相对简单（改动地方少）
我们发现一个简单的问题，就是只要修改SPFA的松弛条件，变成只有长度变长才会更新，以及将初始化长度改为很小的值，那么SPFA最后给出的答案就是最长路（当然，我这里说的情况是对于起点和终点确定的情况。对于其他情况日后补充。）
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 500000+100
#define INF 2147483647
struct NODE {
int w;
int e;
int next; //next[i]表示与第i条边同起点的上一条边的储存位置
} edge[MAXN];
int cnt;
int head[MAXN];
void CFSInit(int n) { // 链式前向星初始化
cnt = 1; // 其实这里是0也无所谓
// for (int i = 0; i <= n; ++i) {
// head[i] = 0;
memset(head, 0, sizeof(head));
// }
}
void add(int u, int v, int w) { // 有向边,无向图需要正反各加一次
edge[cnt].w = w;
edge[cnt].e = v; //edge[i]表示第i条边的终点
edge[cnt].next = head[u]; //head[i]表示以i为起点的最后一条边的储存位置
head[u] = cnt++;
}
int dis[MAXN];
int quecnt[MAXN];
bool vis[MAXN];
bool SPFA(int s, int n) {
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
dis[i] = -INF;
vis[i] = 0;
quecnt[i] = 0;
}
queue<int> q;
q.push(s);
dis[s] = 0;
++quecnt[s];
vis[s] = true;
while (!q.empty()) {
int cur = q.front();
q.pop();
vis[cur] = false;
for (int i = head[cur]; i; i = edge[i].next) {
int v = edge[i].e;
if (dis[v] < dis[cur] + edge[i].w) {
dis[v] = dis[cur] + edge[i].w;
if (!vis[v]) {
++quecnt[v];
vis[v] = true;
q.push(v);
if (quecnt[v] > n) {
return false;
}
}
}
}
}
return true;
}
int main() {
int T, S;
while (~scanf("%d%d", &T, &S)) {
CFSInit(S);
for (int i = 0; i < S; ++i) {
int a, b, t;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &t);
add(a, b, t);
}
SPFA(1, T);
if (dis[T] == -INF) { // 和终点不连通
printf("-1\n");
} else {
printf("%d\n", dis[T]);
}
}
return 0;
}
